Benoît Mandelbrot 與碎形

Benoît Mandelbrot (20 November 1924 – 14 October 2010, 本人使用的中文名為本華·曼德博) 上週因癌症逝世。以下資料大多來自 Wikipedia 和 BBC 報導。

Mandelbrot 出生於波蘭華沙一個猶太家庭,母親是醫生,從小有兩位叔叔常教他數學,其中一位是數學家,父親則作布匹生意。十一歲時,全家為躲避納粹迫害搬到巴黎。1945 到 47 年間他在法國巴黎綜合理工學院 (École Polytechnique) 求學,1949 年在加州理工學院獲得航空工學碩士,1952 年在巴黎大學得到數學博士學位。Mandelbrot 曾先後在法國國家科學研究中心 (Centre National de la Recherche Scientifique), 法國 Lille Nord 大學 (Université Lille Nord de France), IBM Thomas J. Watson 研究中心任職,並曾在 von Neumann 邀請下訪問普林斯頓高等研究院,後來成為 IBM 榮譽 fellow.

1951 年起,Mandelbrot 不僅研究數學,也在資訊理論、經濟學、流體力學等領域發表論文。在許多領域中他發現了同樣的特性:厚尾分佈自我相似結構。市場價格並不符合高斯分佈;如果恆星以碎形方式分佈,可不必靠大爆炸理論解釋天文學中的 Olbers’ 謬論。1975 年,他用「碎形 (fractal)」一詞描述此現象。從此這詞進入了大家的日常語彙中。

然而,碎形是什麼呢?很難找到一個同時可兼顧簡單和精確的解釋。一種說法是:碎形可用來描述自然界層出不窮的不平滑 (roughness) 現象。傳統數學善於描述圓與直線。但在 Mandelbrot 的 The Fractal Geometry of Nature 一書有這麼一段著名的話:「雲不是球形的,山不是圓錐形,海岸線不是圓圈,樹皮不平滑,閃電也從不順著直線走。」雲、山、海岸線、閃電等都是自然界可看到的碎型,複雜而不規則。然而這是自然之所以美的原因。如果雲是圓形的,那多無聊。而如果數學不能捕捉自然之美,那是多麼可惜的事情。碎形理論揭去了這層神秘的面紗,告訴我們,這些自然事物的「規則」其實隱藏在另一個維度中。

「自我相似性」是碎形的另一個特色。將一片雲的一部分放大,看來和整片仍很相似;松樹的一個分支看來就像是整顆松樹的縮小版。這種自我相似性在自然界中也隨處可見。


牛頓法分析中出現的 Mandelbrot set. 來自Wikimedia Commons.

高中、大學時代我曾對碎形著迷過一陣子,試著寫程式畫 Mandelbrot set. 老實說,只是把書上找來的公式拿來用,裡頭牽涉到的數學當時不懂,現在仍不懂。用當時算快的 Mac II,一張圖得畫好幾個鐘頭,若是放大,得花一整個晚上。現在的電腦快多了,找了一些程式來玩,繪圖、放大、縮小,幾乎是一瞬間的事。

參考資料

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