兩個 finitary monad 的合成（其實只要 operator 是 bounded 就好，但在 Haskell 上談有限多個以外的參數好像沒意義？），則對應兩個 algebraic theories 的合成，theory 的合成目前已之有幾種方式，一種是直接加在一起，兩邊的 operator 沒有互相影響，第二種則說兩個 theory 的 operator 互相交換（commutes），第三則說是一個 theory 中的 operator 分配到另一個理論的 operator 也就是 a x (b * c) = (a * b) x (a * c) 這樣的。第一種是對任何理論都可以這樣做，後面兩種則有條件的。

而一般給定 monad T, S 若 TS 仍是一個 monad 的話，對應著是 T 的理論分配到 S 上；相對地，ST 則是 S 理論分配到 T 理論上，當然跟 ST 會不一樣。這些在 M. Hyland 02 年的論文中有提到，雖然這篇很數學。J. Power 這些人最幾年很愛談這個東西，我也是最近才發現這套東西的威力，不過似乎還沒有被實作出來。

如果要做 monad 上的 equational reasoning ，我想還是得把 monad 的操作跟滿足的等是淬取出來，這部分 J. Gibbons 跟 R. Hinze 今年（2011）的論文似乎就是在做這個。

monad transformer 我則是還不知道它對應 category theory 上什麼東西 …

Monad 有兩種定義方式，一種是數學教科書上常見的，在 category C 下給定一個 functor T, 兩個 natural transformations, \eta : I -> T, \mu : T^2 -> T 滿足 \mu . T\mu = \mu . \mu 以及 id = \mu . T\eta 。

另外一種定義是透過我們稱為 Kleisli triple 給定一個 object function T : obj(C) -> obj(C) （注意，我們不需要 T 是一個 functor ！），以及對每個 object c 都有一個 morphism u : c -> Tc in C 以及對所有的 f : c -> Td 有一個 Kleisli extension, f* : Tc -> Td.

這兩種定義是一一對應的，也就是說從 Kleisli triple 可以定義一個 monad, 從 monad 可以定義 Kleisli triple 而且 monad -> K. tri. -> monad 會得到原來的 monad, 反之亦然。

第二種方式是 Haskell 採用的，所以 T 不被要求為一個 functor, 理論上就不需要有 fmap 了。一個明顯的好處是，在 Haskell 上沒辦法直接描述什麼是 natural transformation ，但是用 Kleisli triple 的定義就迴避了這個困難點。